画像処理は顔認証や自動運転のように急拡大中の市場において非常によく利用されています。それと同時に量子画像処理も現在台頭しつつある量子情報の一分野で、エッジ検出のように特定ではあるものの広く利用されている技術を大きく加速させる可能性を秘めています。[3], [4]。例えば2014年のZhang et al.ではFlexible Representation of Quantum Images (FRQI)と古典エッジ抽出アリゴリズムであるSobelを元にした量子エッジ抽出アルゴリズム (QSobel)が提唱されています。 QSobelは$2^{n} × 2^{n}$サイズのFRQI量子画像に対して$O(n^{2})$の計算複雑性でエッジを抽出可能であり、既存のエッジ抽出アルゴリズムを比較すると指数関数的加速となっています。 [3]

この章では画像を量子状態にエンコードする手法としてFlexible Representation of Quantum Images (FRQI)とNovel Enhanced Quantum Representation (NEQR)の2つの手法を取り上げます。画像のエンコードが完了してしまえばQSobel [3]エッジ抽出アリゴリズムなどの量子アルゴリズムを使って画像処理が可能ですが、ここではエンコーディングについてのみ取り上げます。

Flexible Representation of Quantum Images (FRQI) [1]のゴールは古典データを量子状態に効率的にエンコードして後続の画像処理演算を可能にする量子表現を作り出すことです。 この場合、古典画像データを量子状態にエンコードするには多項式オーダーの数のゲートが必要です。

1. FRQI状態

画像を表現する量子状態は以下のように表せます。

$$ \newcommand{\ket}[1]{\left|{#1}\right\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle{#1}\right|} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle{#1}\middle|{#2}\right\rangle} \ket{I(\theta)}=\frac{1}{2^{n} }\sum_{i=0}^{2^{2n}-1}\left(\cos \theta_{i}\ket{0}+\sin\theta_{i}\ket{1}\right)\otimes\ket{i} \label{eq:FRQI_state} \tag{1.1} $$$$ \theta_{i}\in\left[ 0,\frac{\pi}{2}\right], i = 0,1,\cdots,2^{2n}-1 \label{eq:FRQI_angle} \tag{1.2} $$

FRQI状態は式$\eqref{eq:FRQI_state}$において$\left\|I(\theta)\right\|=1$であるように規格化された状態であり、2つの状態から構成されています。

• 色の情報をエンコードした状態: $\cos\theta_{i}\ket{0}+\sin\theta_{i}\ket{1}$
• 関連ピクセルの位置をエンコードした状態: $\ket{i}$

シンプルな例として、$2\times2$の画像の角度$\theta$(色情報をエンコード)と関連するケットベクトル(位置情報のエンコード)を以下に示します。

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \theta_{0},\ket{00} & \theta_{1},\ket{01} \\ \hline \theta_{2},\ket{10} & \theta_{3},\ket{11} \\ \hline \end{array} $$

量子状態は次のように表すことが出来ます。

$$ \begin{aligned} \ket{I}=\frac{1}{2}[ \; & \phantom{+} \left(\cos\theta_{0}\ket{0}+\sin\theta_{0}\ket{1} \right)\otimes\ket{00}&\\ & + \left(\cos\theta_{1}\ket{0}+\sin\theta_{1}\ket{1} \right)\otimes\ket{01} \\ & + \left(\cos\theta_{2}\ket{0}+\sin\theta_{2}\ket{1} \right)\otimes\ket{10}\\ & + \left(\cos\theta_{3}\ket{0}+\sin\theta_{3}\ket{1} \right)\otimes\ket{11} \;] \end{aligned} \label{eq:22state} \tag{1.3} $$

2. FRQI状態を構成する: 2つのステップ

初期状態$\ket{0}^{\otimes2n+1}$から式$\eqref{eq:FRQI_state}$のFRQI状態を構築するためには2つのステップが必要で、まず始めに量子系を完全に重ね合わせの状態にする必要があります。ただし、最後の量子ビットだけは色情報をエンコードするために使用するため重ね合わせの対象から外します。$H^{\otimes2n}$は2n個のアダマールゲートのテンソル積であり、中間状態は以下のようになります。

$$ \ket{H}=\frac{1}{2^{n} }\ket{0}\otimes\sum_{i=0}^{2^{2n}-1}\ket{i}=\mathcal{H}\left(\ket{0}^{\otimes2n+1}\right) \label{eq:superpos} \tag{2.1} $$

[1]にあるように、初期状態$\ket{0}^{\otimes2n+1}$からFRQI状態$I(\theta)$に変換するためのユニタリ変換$\mathcal{P}=\mathcal{RH}$が存在します。

$$ \mathcal{R}\ket{H}=\left(\prod_{i=0}^{2^{2n}-1}R_{i}\right)\ket{H}=\ket{I(\theta)} \tag{2.2} $$

$R_{i}$操作は次のように定義される制御回転行列です。

$$ R_{i}=\left( I\otimes \sum^{2^{2n}-1}_{j=0,j\neq i}\ket{j}\bra{j}\right) + R_{y}\left(2\theta_{i}\right)\otimes\ket{i}\bra{i} \tag{2.3} $$

$R_{y}(2\theta_{i})$は通常の回転行列です。

$$ R_{y}(2\theta_{i})= \begin{pmatrix} \cos\theta_{i} & -\sin\theta_{i}\\ \sin\theta_{i} & \cos\theta_{i} \end{pmatrix} \tag{2.4} $$

制御回転は通常の回転ゲートと$CNOT$ゲートで書き下される一般化された $C^{2n}\left( R_{y}(2\theta_{i}) \right) $で実装することが出来ます。 例えば$n=1$の$4$ ピクセル ($2\times2$の画像)の場合、次のように表現が可能であり簡単に実装が可能です。

ここでピクセル位置の増大には配慮する必要はありますが、これは$X$ゲートの役割です。

3. 実装と測定 : 2×2のグレースケール画像

バリアは個々のピクセルに関連する別々のブロックを区別するために使われます。 またグレースケール画像(LRGB画像のLの要素)という、色情報のエンコードのため関心のある値が強度のみの画像を用います。つまり、全ての$\theta_{i}$の値が0の場合全てのピクセルが黒で、全ての$\theta_{i}$の値が$\pi/2$の場合全てのピクセルが白となります。この時関心のある値は$0, \pi/4$ そして$\pi/2$です。

3.1 例 1 : $\theta_{i}=0 \;, \; \forall i$ - 全ピクセルが最小強度

3.1.1 測定と画像検索

$\eqref{eq:22state}$からFRQI状態のカラーエンコーディングの部分で状態$\ket{1}$に関わる全ての項は、$\theta=0$により消えてしまうので、等確率な4状態のみ観測が期待されます。

3.2 例2 : $\theta_{i}=\pi/2 \;, \; \forall i$ - 全てのピクセルが最大強度

回路は$\theta$の値を除いて最初に定義した回路と同一です。

3.2.1 測定と画像検索

今回の場合$\eqref{eq:22state}$において$\cos$の項が消えてしまうため、最初の量子ビットの状態が1である等確率な4状態が観測されます。

3.3 例3 : $\theta_{i}=\pi/4 \;, \; \forall i$ - 全てのピクセルが$50\%$の強度

3.3.1 測定と画像検索

今回の場合は8状態全ての観測が期待されます。

4. 回路の分析と実機での実行

これまでの回路の違いは回転角$\theta$だけだったので、このクラスの回路(2×2画像)の深さや必要なゲート数を確認することが出来ます。

4.1 回路の分析

例として$\theta_{i}=\pi/2 \;, \; \forall i$(全てのピクセルが最大強度)の場合の回路を考えてみましょう。

それほど複雑には見えませんが、トランスパイラーで展開しようとすると少しだけより複雑になります。

例で挙げた回路の深さは倍になりました。

デバイスのcoupling map(例: Athens)を使ってトランスパイルした結果は実機で実行する回路により近づきました。最適化レベルを3にしてみましょう。

4.2 実機での実行

実機で実行する準備が整いました。ここでは(fake)Athensを使いますが、実機でも同じコードを実行可能です。

得られた結果はデバイスのノイズのせいで期待した結果とはなっていません。理想的な回路のシミュレーションは以下のようになります。

5. 圧縮

エンコードする画像が大きくなってエンコード用の量子回路の深さが深くなるほど、回路の複雑さ($CNOT$ゲートの深さや数)を減らすためのいかなる取り組みも大きな差を生み出すことは明らかです。

圧縮はピクセルを同じ強度でグルーピングすることで実現することが出来ます。それぞれのピクセルを区別するのは位置をエンコードするバイナリ文字列ですが、制御回転の回転角は共通しています。次のような画像の例を考えてみましょう。

青のピクセルの位置は$\ket{0}, \ket{8}, \ket{16}, \ket{24}, \ket{32}, \ket{40}, \ket{48}$ そして $\ket{56}$に対応します。各々のバイナリ表現とブール表現は以下のようになります。

\begin{array}{|c|c|c|} \hline position & binary \; string & boolean \; expression \\ \hline \ket{0} &\ket{000000} & \overline{x_{5}}\overline{x_{4}}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \ket{8} &\ket{001000} & \overline{x_{5}}\overline{x_{4}}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \ket{16} &\ket{010000} & \overline{x_{5}}x_{4}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \ket{24} &\ket{011000} & \overline{x_{5}}x_{4}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \ket{32} &\ket{100000} & x_{5}\overline{x_{4}}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \ket{40} &\ket{101000} & x_{5}\overline{x_{4}}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \ket{48} &\ket{110000} & x_{5}x_{4}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \ket{56} &\ket{111000} & x_{5}x_{4}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \\ \hline \end{array}

ブール表現は簡略化、最小化することで次のように表現されます。

$exp = \overline{x_{5}}\overline{x_{4}}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+\overline{x_{5}}\overline{x_{4}}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+\overline{x_{5}}x_{4}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+\overline{x_{5}}x_{4}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+x_{5}\overline{x_{4}}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+x_{5}\overline{x_{4}}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+x_{5}x_{4}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+x_{5}x_{4}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}$

\begin{align*} exp&=(\overline{x_{5}}+x_{5})(\overline{x_{4}}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} +\overline{x_{4}}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+x_{4}\overline{x_{3}}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}+x_{4}x_{3}\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}})\\ &=\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}}(\overline{x_{4}}\overline{x_{3}}+\overline{x_{4}}x_{3}+x_{4}\overline{x_{3}}+x_{4}x_{3})\\ &=\overline{x_{2}}\overline{x_{1}}\overline{x_{0}} \end{align*}

ピクセル群を1つの制御回転でグルーピング出来るだけでなく、制御ゲートも削減することが分かりました。これは実装に必要な単一ゲートが削減されることを意味します。

練習問題

制御回転は一般化された$C^{2n}\left( R_{y}(2\theta_{i}) \right) $を用いて実装することができ、これは通常の回転ゲートと$CNOT$ゲートに分解することが出来ます。$n=2$ と $n=3$の場合、およびそれぞれ展開した結果を書き下してください。

今回扱ったのは通常のグレースケールの小さな画像ですが、通常のRGB画像(例えば16色)はどのように実装すればよいでしょうか。

デジタル画像のためのNovel Enhanced Quantum Representation (NEQR)

$\newcommand{\ket}[1]{\left|{#1}\right\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle{#1}\right|}$

Novel Enhanced Quantum Representation (NEQR)は量子画像表現のもう一つの形式です。NEQRは前の手法であるFlexible Representation of Quantum Images (FRQI)[1]と、画像中のピクセル情報を保存するために規格化された重ね合わせを用いるという点では似ています。FRQIはピクセルのグレースケール値を保存するのに1量子ビットしか利用しないという制限があり、このせいで複雑な画像変換を困難にしています。NEQRは画像のグレースケール値を保存するために、基底状態の量子ビット列を用いることで、FRQIを改善するように作られました[5]。

NEQRは[5]にあるようにFRQIと比べて以下のような利点があります。

• NEQR量子画像の準備に関して時間計算量において二次関数的な加速
• 最大1.5倍の最適な画像圧縮比率
• 測定後の正確な画像検索(FRQIでは確率的)
• 複雑な色の扱いやその他多数の操作が可能

この節ではNEQRモデルを用いて量子コンピューター上で2×2の古典グレースケール画像を表現していきます。

1. NEQR 手順

NEQRで画像を表現する手順は準備と圧縮という二つのパートに分けられます。以下で説明します。

1.1画像のエンコードの仕方:

NEQRモデルを利用して量子コンピューター上で画像を表現するために必要な様々な要素をまずは確認し、それらがどのように関連していくのかを見ていきます。最初は画像の色の範囲から始めましょう。

画像の色の範囲はビット文字列で次のように表されます。

バイナリ画像：1ビット表現 0=黒、1=白

グレースケール画像：8ビット表現 0(黒)から255(白)のグレー強度値の陰影

カラー画像：24ビット表現は8ビットが3グループに分けられ、各8ビットグループは赤、緑、青のピクセルの色の強度を表現しています。

この例では画像内の位置でピクセルを表現しています。2次元画像を表現しているため、画像の位置を行と列つまりY座標とX座標で定義しています。

注意 列番号がX座標の値で、行番号がY座標の値で表されているのは、画像処理ではピクセル位置はX-Y平面で表現されるためです。

1.2 画像圧縮:

画像の量子表現が出来たら、生成された回路の深さや大きさをチェックし、回路を圧縮するいくつかの古典的手法を実践します。

それでは以下で2×2の量子画像をエンコードしていきましょう。

2. 2×2 画像のエンコード

この例では以下のピクセル値を含むような2×2のグレースケール画像をエンコードします。下の表の1列目は2×2画像のピクセルの位置を、2列目はその位置におけるピクセル値の強度を、3列目はグレースケールの強度(例:01100100 = 100)を表しています。

\begin{array}{|c|c|c|} \hline position & binary \; string & grayscale \; intensity \\ \hline \ket{00} &\ket{00000000} & 0 - Black \\ \hline \ket{01} &\ket{01100100} & 100 - Dark shade \\ \hline \ket{10} &\ket{11001000} & 200 - Light shade \\ \hline \ket{11} &\ket{11111111} & 255 - White \\ \hline \end{array}

これらのピクセルをエンコードするために量子レジスタを定義する必要があります。最初のレジスタはピクセル位置を保存するために使用します。2次元画像なので、水平(列)方向と垂直(行)方向、つまりY方向とX方向の2変数が必要となります。

各ピクセルの色の値は$\mathcal{f}(Y,X)$で表現します。YとXはピクセルの位置で、それぞれ画像の行方向と列方向にあたります。

各ピクセルのグレースケール強度域は変わり得ますが、最も一般的なグレースケール域は0 - 255なので値はたいてい$2^{q}$で表されます。256のとき$q=8$です。$q$は色のバイナリ列$C^{0}, C^{1},.. C^{q-2}, C^{q-1}$を表現するために必要なビット数です。

これは各ピクセル値は次のように表現できることを表します。ここでCはグレースケール強度のバイナリ表現です。

$$ \mathcal{f}(Y,X) = C^{0}_{YX}, C^{1}_{YX},... C^{q-2}_{YX}, C^{q-1}_{YX} \in [0,1], \;\; f(Y,X)\in[0, 2^{q-1}] \label{eq:color_rep} \tag{2.1} $$

例えば位置(1,0)、色強度100 (01100100)のピクセルは次のように表されます。

$$ \mathcal{f}(1,0) = \overline{C^{0}_{10}}, C^{1}_{10}, C^{2}_{10}, \overline{C^{3}_{10}}, \overline{C^{4}_{10}}, C^{5}_{10}, \overline{C^{6}_{10}}, \overline{C^{7}_{10}} = 01100100 = 100 $$

ゆえに、$2^{n}$x $2^{n}$ 画像の量子表現の一般系 $|I\rangle$は以下のように表されます。

$$ |I\rangle = \frac{1}{2^{n}}\sum_{Y=0}^{2^{2n-1}} \sum_{X=0}^{2^{2n-1}} | \mathcal{f}(Y,X)\rangle |Y X\rangle = \frac{1}{2^{n}}\sum_{Y=0}^{2^{2n-1}} \sum_{X=0}^{2^{2n-1}} \vert\otimes_{i=0}^{q-1}\rangle |C_{YX}^{i}\rangle |Y X\rangle \label{eq:quantum_image_rep} \tag{2.2} $$

上の式を先ほどの2×2画像の例に当てはめると、ピクセル値は以下のようになります。

$$ \mathsf{\Omega}_{YX}|0\rangle^{\otimes q} = \frac{1}{\sqrt[]{2}}(|00000000\rangle |00\rangle + |01100100\rangle |01\rangle + |11001000\rangle |10\rangle + |11111111\rangle |11\rangle) $$

ここで$\mathsf{\Omega}_{YX}|0\rangle$は位置(Y, X)のピクセルの値格納を表現する量子操作です。

2.1 画像エンコードの量子回路の作成

まずは画像をエンコードするために、ある量子ビット数の量子回路を作成します。そのために、intensityとラベリングされたピクセル値とidxとラベリングされたピクセル位置を表現する2つの別々の量子回路を構築していきましょう。

最初の量子回路は$2^n$個の量子ビットを使ってピクセル値$f(Y,X)$を表現します。今回の場合は8量子ビットです。

次にピクセル位置を表現する量子ビット(idx)にアダマールゲートを追加し、2×2画像の全ての位置を利用可能にします。 オプションとして強度を表現する量子ビットにはIゲートを追加します。

2.2 量子回路上でのグレースケール画像の表現

量子回路を構築し、初期化を行ったのでまずはピクセル位置を表現する回路とそれぞれのピクセル強度値を合わせた回路を準備していきましょう。 可読性を高めるためIゲートとバリアを追加しています。

ピクセル値をエンコードしていきましょう。各ピクセルにセットした値は以下の通りであったことを思い出してください。

00 = 00000000 (黒)

01 = 01100100 (グレースケール = 100)

10 = 11001000 (グレースケール = 200)

11 = 11111111 (白)

(0,0)の位置のピクセルから始めていきます。(0,0)ピクセルは値が全て0のなのでブランクのままにしておくことももちろん可能ですが、見やすくするためにIゲートを追加している点に注意してください。

次に2番目のピクセルで位置が(0,1)、値が(01010101)のピクセルをエンコードしていきます。ここでコントロールビットが2つある制御NOTゲート(2-CNOT)を利用します。ピクセル位置(Y,X)によって制御され、ピクセル値を表現する$C^{i}_{YX}$の量子ビットがターゲットビットとして回転します。

注意 ここではCNOTゲートが作用するのは制御ビットの状態が0と1の状態の組みになっている場合にしたいので、回路の前後にXゲートを置くことで、特定の制御ビットの状態が0のときでも制御操作が作用するようにしています。

次のピクセルに移ります。位置は(1,0)、値は(10101010)です。

最後のピクセルです。位置は(1,1)、値は(11111111)です。全てのピクセル画像値の量子ビットに単にトフォリゲートを追加するだけです。