참고

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Qiskit 경사 프레임워크 (Gradient Framework)¶

경사 프레임워크는 양자 함수 뿐만 아니라 양자 경사를 구할 수 있게 해준다. 게다가 다음 형태의 기댓값의 표준 일차 경사도 가능하다.

\[\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle\]

경사 프레임워크는 이차 경사(헤세 행렬)를 구하는 것과 양자 상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 의 양자 Fisher 정보(QFI, Quantum Fisher Information)를 구하는 것도 지원한다.

불러오기¶

[1]:

#General imports
import numpy as np

#Operator Imports
from qiskit.opflow import Z, X, I, StateFn, CircuitStateFn, SummedOp
from qiskit.opflow.gradients import Gradient, NaturalGradient, QFI, Hessian

#Circuit imports
from qiskit.circuit import QuantumCircuit, QuantumRegister, Parameter, ParameterVector, ParameterExpression
from qiskit.circuit.library import EfficientSU2

일차 경사 (First Order Gradients)¶

주어진 초기 상태가 \(|\psi\rangle\) 이고 매개변수화된 가설이 \(V\left(\theta\right)\) 인 매개변수화된 양자 상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle = V\left(\theta\right)|\psi\rangle\) 와 관측가능량 \(\hat{O}\left(\omega\right)=\sum_{i}\omega_i\hat{O}_i\) 에 대해 다음 경사들을 계산할 것이다.

측정 연산자 매개변수에 대한 경사¶

관측가능량 \(\hat{O}\left(\omega\right)\) 의 기댓값을 측정 연산자의 계수에 대한 경사는

\[\frac{\partial\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\omega_i} = \langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}_i\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle.\]

먼저, 양자 상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 와 해밀토니안 \(H\) 를 관측가능량처럼 작용하도록 정의한다. 그런 다음, 상태와 해밀토니안을 기댓값을 정의하는 객체로 랩핑한다.

\[\langle\psi\left(\theta\right)|H|\psi\left(\theta\right)\rangle.\]

[2]:

# Instantiate the quantum state
a = Parameter('a')
b = Parameter('b')
q = QuantumRegister(1)
qc = QuantumCircuit(q)
qc.h(q)
qc.rz(a, q[0])
qc.rx(b, q[0])

# Instantiate the Hamiltonian observable
H = (2 * X) + Z

# Combine the Hamiltonian observable and the state
op = ~StateFn(H) @ CircuitStateFn(primitive=qc, coeff=1.)

# Print the operator corresponding to the expectation value
print(op)

ComposedOp([
  OperatorMeasurement(2.0 * X
  + 1.0 * Z),
  CircuitStateFn(
        ┌───┐┌───────┐┌───────┐
  q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b) ├
        └───┘└───────┘└───────┘
  )
])

경사를 계산할 수 있는 매개변수 리스트를 구성한다. 이 리스트와 기댓값 연산자는 경사를 나타내는 연산자를 생성하는 데 사용된다.

[3]:

params = [a, b]

# Define the values to be assigned to the parameters
value_dict = {a: np.pi / 4, b: np.pi}

# Convert the operator and the gradient target params into the respective operator
grad = Gradient().convert(operator = op, params = params)

# Print the operator corresponding to the Gradient
print(grad)

ListOp([
  SummedOp([
    ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a + 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├┤ H ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘└───┘
      )
    ]),
    -1.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a - 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├┤ H ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘└───┘
      )
    ]),
    0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a + 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘
      )
    ]),
    -0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a - 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘
      )
    ])
  ]),
  SummedOp([
    ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b + 1.5707963267949) ├┤ H ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘└───┘
      )
    ]),
    -1.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b - 1.5707963267949) ├┤ H ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘└───┘
      )
    ]),
    0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b + 1.5707963267949) ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘
      )
    ]),
    -0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b - 1.5707963267949) ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘
      )
    ])
  ])
])

남은 일은 매개변수에 값을 할당하고 경사 연산자를 구하는 것이다.

[4]:

# Assign the parameters and evaluate the gradient
grad_result = grad.assign_parameters(value_dict).eval()
print('Gradient', grad_result)

Gradient [(-1.414213562373094+0j), (-0.7071067811865474+0j)]

상태 매개변수에 대한 경사¶

상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 의 매개변수에 대한 기댓값의 경사는

\[\frac{\partial\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta}\]

상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 의 매개변수에 대한 샘플링 확률의 경우는

\[\frac{\partial p_i}{\partial\theta} = \frac{\partial\langle\psi\left(\theta\right)|i\rangle\langle i |\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta}.\]

상태 매개변수에 대한 경사는 다양한 방법으로 구할 수 있다. 각 방법은 장점과 단점이 있다.

[5]:

# Define the Hamiltonian with fixed coefficients
H = 0.5 * X - 1 * Z
# Define the parameters w.r.t. we want to compute the gradients
params = [a, b]
# Define the values to be assigned to the parameters
value_dict = { a: np.pi / 4, b: np.pi}

# Combine the Hamiltonian observable and the state into an expectation value operator
op = ~StateFn(H) @ CircuitStateFn(primitive=qc, coeff=1.)
print(op)

ComposedOp([
  OperatorMeasurement(0.5 * X
  - 1.0 * Z),
  CircuitStateFn(
        ┌───┐┌───────┐┌───────┐
  q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b) ├
        └───┘└───────┘└───────┘
  )
])

매개변수 이동 경사 (Parameter Shift Gradients)¶

주어진 두 유일한 고윳값 \(\pm r\) 을 가지는 에르미트(Hermitian) 연산자 \(g\) 가 생성자로써 작용하는 매개변수화된 양자 게이트는

\[G(\theta)= e^{-i\theta g}.\]

그러면 양자 경사들은 고윳값 \(r\) 에 의존하는 이동으로 계산될 수 있다. 모든 매개변수화된 기본 Qiskit 게이트들 은 \(\pi/2\) 만큼 이동될 수 있다.

\[\frac{\partial\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta} = \left(\langle\psi\left(\theta+\pi/2\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta+\pi/2\right)\rangle -\langle\psi\left(\theta-\pi/2\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta-\pi/2\right)\rangle\right) / 2.\]

확률 경사도 동등하게 계산된다.

[6]:

# Convert the expectation value into an operator corresponding to the gradient w.r.t. the state parameters using
# the parameter shift method.
state_grad = Gradient(grad_method='param_shift').convert(operator=op, params=params)
# Print the operator corresponding to the gradient
print(state_grad)
# Assign the parameters and evaluate the gradient
state_grad_result = state_grad.assign_parameters(value_dict).eval()
print('State gradient computed with parameter shift', state_grad_result)

ListOp([
  SummedOp([
    0.25 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a + 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├┤ H ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘└───┘
      )
    ]),
    -0.25 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a - 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├┤ H ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘└───┘
      )
    ]),
    -0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a + 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘
      )
    ]),
    0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌─────────────────────────┐┌───────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a - 1.5707963267949) ├┤ RX(b) ├
            └───┘└─────────────────────────┘└───────┘
      )
    ])
  ]),
  SummedOp([
    0.25 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b + 1.5707963267949) ├┤ H ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘└───┘
      )
    ]),
    -0.25 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b - 1.5707963267949) ├┤ H ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘└───┘
      )
    ]),
    -0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b + 1.5707963267949) ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘
      )
    ]),
    0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌─────────────────────────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b - 1.5707963267949) ├
            └───┘└───────┘└─────────────────────────┘
      )
    ])
  ])
])
State gradient computed with parameter shift [(-0.35355339059327356+0j), (0.7071067811865472+0j)]

유니테리 경사의 선형 결합 (Linear Combination of Unitaries Gradients)¶

유니테리들은 \(U\left(\omega\right) = e^{iM\left(\omega\right)}\) 와 같이 쓰여질 수 있는데, 여기서 \(M\left(\omega\right)\) 는 매개변수화된 에르미트 행렬을 나타낸다. 나아가 에르미트 행렬들은 Pauli 항들의 가중 합으로 분해될 수 있는데, 다시 말하면 \(m_p\left(\omega\right)\in\mathbb{R}\) 와 \(j^{\text{th}}\) 큐비트에 작용하는 \(\sigma_{j, p}\in\left\{I, X, Y, Z\right\}\) 에 대한 \(h_p=\bigotimes\limits_{j=0}^{n-1}\sigma_{j, p}\) 로 \(M\left(\omega\right) = \sum_pm_p\left(\omega\right)h_p\) 와 같이 나타낼 수 있다. 고로, \(U_k\left(\omega_k\right)\) 의 경사들은 다음과 같이 주어진다 \begin{equation*} \frac{\partial U_k\left(\omega_k\right)}{\partial\omega_k} = \sum\limits_pi \frac{\partial m_{k,p}\left(\omega_k\right)}{\partial\omega_k}U_k\left(\omega_k\right)h_{k_p}. \end{equation*}

이 결과를 Simulating physical phenomena by quantum networks 에 제시된 회로 구조와 결합하면 단일 양자 회로를 구하여 경사를 계산할 수 있다.

[7]:

# Convert the expectation value into an operator corresponding to the gradient w.r.t. the state parameter using
# the linear combination of unitaries method.
state_grad = Gradient(grad_method='lin_comb').convert(operator=op, params=params)

# Print the operator corresponding to the gradient
print(state_grad)

# Assign the parameters and evaluate the gradient
state_grad_result = state_grad.assign_parameters(value_dict).eval()
print('State gradient computed with the linear combination method', state_grad_result)

ListOp([
  SummedOp([
    0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(ZZ) * 2.0,
      CircuitStateFn(
             ┌───┐          ┌───────┐┌───────┐┌───┐
       q0_0: ┤ H ├────────■─┤ RZ(a) ├┤ RX(b) ├┤ H ├
             ├───┤┌─────┐ │ └─┬───┬─┘└───────┘└───┘
      q81_0: ┤ H ├┤ SDG ├─■───┤ H ├────────────────
             └───┘└─────┘     └───┘
      ) * 0.7071067811865476
    ]),
    -1.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(ZZ) * 2.0,
      CircuitStateFn(
             ┌───┐          ┌───────┐┌───────┐
       q0_0: ┤ H ├────────■─┤ RZ(a) ├┤ RX(b) ├
             ├───┤┌─────┐ │ └─┬───┬─┘└───────┘
      q82_0: ┤ H ├┤ SDG ├─■───┤ H ├───────────
             └───┘└─────┘     └───┘
      ) * 0.7071067811865476
    ])
  ]),
  SummedOp([
    0.5 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(ZZ) * 2.0,
      CircuitStateFn(
             ┌───┐┌───────┐┌───┐┌───────┐┌───┐
       q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ X ├┤ RX(b) ├┤ H ├
             ├───┤└┬─────┬┘└─┬─┘└─┬───┬─┘└───┘
      q83_0: ┤ H ├─┤ SDG ├───■────┤ H ├───────
             └───┘ └─────┘        └───┘
      ) * 0.7071067811865476
    ]),
    -1.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(ZZ) * 2.0,
      CircuitStateFn(
             ┌───┐┌───────┐┌───┐┌───────┐
       q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ X ├┤ RX(b) ├
             ├───┤└┬─────┬┘└─┬─┘└─┬───┬─┘
      q84_0: ┤ H ├─┤ SDG ├───■────┤ H ├──
             └───┘ └─────┘        └───┘
      ) * 0.7071067811865476
    ])
  ])
])
State gradient computed with the linear combination method [(-0.3535533905932737+0j), (0.7071067811865472+0j)]

유한차 경사 (Finite Difference Gradients)¶

다른 방법들과는 달리, 유한차 경사는 해석적이 아닌 수치적 추정을 한다. 이 구현은 \(\epsilon \ll 1\) 이내의 값 차이를 이용한다.

\[\frac{\partial\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta} \approx \frac{1}{2\epsilon} \left(\langle\psi\left(\theta+\epsilon\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta+\epsilon\right)\rangle - \partial\langle\psi\left(\theta-\epsilon\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta-\epsilon\right)\rangle\right).\]

확률 경사도 동등하게 계산된다.

[8]:

# Convert the expectation value into an operator corresponding to the gradient w.r.t. the state parameter using
# the finite difference method.
state_grad = Gradient(grad_method='fin_diff').convert(operator=op, params=params)

# Print the operator corresponding to the gradient
print(state_grad)

# Assign the parameters and evaluate the gradient
state_grad_result = state_grad.assign_parameters(value_dict).eval()
print('State gradient computed with finite difference', state_grad_result)

ListOp([
  SummedOp([
    250000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌────────────────┐┌───────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a + 1.0e-6) ├┤ RX(b) ├┤ H ├
            └───┘└────────────────┘└───────┘└───┘
      )
    ]),
    -250000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌────────────────┐┌───────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a - 1.0e-6) ├┤ RX(b) ├┤ H ├
            └───┘└────────────────┘└───────┘└───┘
      )
    ]),
    -500000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌────────────────┐┌───────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a + 1.0e-6) ├┤ RX(b) ├
            └───┘└────────────────┘└───────┘
      )
    ]),
    500000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌────────────────┐┌───────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a - 1.0e-6) ├┤ RX(b) ├
            └───┘└────────────────┘└───────┘
      )
    ])
  ]),
  SummedOp([
    250000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌────────────────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b + 1.0e-6) ├┤ H ├
            └───┘└───────┘└────────────────┘└───┘
      )
    ]),
    -250000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌────────────────┐┌───┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b - 1.0e-6) ├┤ H ├
            └───┘└───────┘└────────────────┘└───┘
      )
    ]),
    -500000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌────────────────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b + 1.0e-6) ├
            └───┘└───────┘└────────────────┘
      )
    ]),
    500000.0 * ComposedOp([
      OperatorMeasurement(Z),
      CircuitStateFn(
            ┌───┐┌───────┐┌────────────────┐
      q0_0: ┤ H ├┤ RZ(a) ├┤ RX(b - 1.0e-6) ├
            └───┘└───────┘└────────────────┘
      )
    ])
  ])
])
State gradient computed with finite difference [(-0.35355339057345814+0j), (0.707106781149+0j)]

자연 경사¶

일차 경사의 특별한 경우로, 고전 기계 학습(classical machine learning)에서도 유용함이 증명되었고 양자 문맥에서도 연구가 되고 있는 자연 경사가 있다. 이 값은 양자 Fisher 정보 행렬 (Quantum Fisher Information matrix, QFI) 의 역행렬로 보정된 경사를 나타낸다.

\[QFI ^{-1} \frac{\partial\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta}.\]

QFI의 역 대신에, (정규화를 적용하거나 적용하지 않은) 최소자승법을 사용해서 구할 수도 있다

\[QFI x = \frac{\partial\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta}.\]

이 구현은 QFI의 대각 성분의 두 가지 유형의 섭동뿐만 아니라 L-curve corner search 을 사용하여 좋은 매개 변수를 자동 검색함으로써 능선(ridge) 및 라소(lasso) 정규화를 지원한다.

어떤 경사 기반의 최적화나 ODE 해석자를 사용하는 표준 경사 대신에 자연 경사를 사용할 수 있다.

[9]:

# Besides the method to compute the circuit gradients resp. QFI, a regularization method can be chosen:
# `ridge` or `lasso` with automatic parameter search or `perturb_diag_elements` or `perturb_diag`
# which perturb the diagonal elements of the QFI.
nat_grad = NaturalGradient(grad_method='lin_comb', qfi_method='lin_comb_full', regularization='ridge').convert(
                           operator=op, params=params)

# Assign the parameters and evaluate the gradient
nat_grad_result = nat_grad.assign_parameters(value_dict).eval()
print('Natural gradient computed with linear combination of unitaries', nat_grad_result)

Natural gradient computed with linear combination of unitaries [-2.62895551  1.31447775]

헤세 행렬 (Second Order Gradients)¶

경사 프레임워크는 네 가지 유형의 이차 경사를 지원한다.

관측량 \(\hat{O}\left(\omega\right)\) 에 대한 측정 연산자의 계수에 대한 기댓값 경사, \(\frac{\partial^2\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\omega^2}\)
상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 의 매개변수에 대한 기댓값의 경사, \(\frac{\partial^2\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta^2}\)
상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 의 매개변수에 대한 샘플링 확률의 경사, \(\frac{\partial^2 p_i}{\partial\theta^2} = \frac{\partial^2\langle\psi\left(\theta\right)|i\rangle\langle i|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta^2}\)
상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 의 매개변수와 관측량 \(\hat{O}\left(\omega\right)\) 에 대한 측정 연산자의 계수에 대한 경사, \(\frac{\partial^2\langle\psi\left(\theta\right)|\hat{O}\left(\omega\right)|\psi\left(\theta\right)\rangle}{\partial\theta\partial\omega}\)

다음은 첫 두 개의 헤세 유형에 대해 예제들이다. 나머지 헤세 유형들도 이와 비슷하게 구할 수 있다.

측정 연산자 매개변수에 대한 헤세 행렬¶

다시 양자 상태 \(|\psi\left(\theta\right)\rangle\) 와 해밀토니안 \(H\) 를 관측가능량처럼 작용하도록 정의한다. 그런 다음, 상태와 해밀토니안을 기댓값을 정의하는 객체로 랩핑한다.

\[\langle\psi\left(\theta\right)|H|\psi\left(\theta\right)\rangle.\]

[10]:

# Instantiate the Hamiltonian observable
H = X

# Instantiate the quantum state with two parameters
a = Parameter('a')
b = Parameter('b')

q = QuantumRegister(1)
qc = QuantumCircuit(q)
qc.h(q)
qc.rz(a, q[0])
qc.rx(b, q[0])

# Combine the Hamiltonian observable and the state
op = ~StateFn(H) @ CircuitStateFn(primitive=qc, coeff=1.)

다음에는 이차 경사를 계산할 매개변수를 선택할 것이다. - 주어진 튜플에 대해 Hessian 은 두 매개변수에 대한 이차 경사를 얻을 것이다. - 주어진 리스트에 대해 Hessian 은 주어진 매개변수들의 모든 가능한 조합들로 이차 경사를 얻을 것이다.

매개변수 값을 매개변수에 바인딩 한 후, 헤세 행렬을 구할 수 있다.

[11]:

# Convert the operator and the hessian target coefficients into the respective operator
hessian = Hessian().convert(operator = op, params = [a, b])

# Define the values to be assigned to the parameters
value_dict = {a: np.pi / 4, b: np.pi/4}

# Assign the parameters and evaluate the Hessian w.r.t. the Hamiltonian coefficients
hessian_result = hessian.assign_parameters(value_dict).eval()
print('Hessian \n', np.real(np.array(hessian_result)))

Hessian
 [[-7.07106781e-01  0.00000000e+00]
 [ 0.00000000e+00 -5.55111512e-17]]

상태 매개변수에 대한 헤세 행렬¶

[12]:

# Define parameters
params = [a, b]

# Get the operator object representing the Hessian
state_hess = Hessian(hess_method='param_shift').convert(operator=op, params=params)
# Assign the parameters and evaluate the Hessian
hessian_result = state_hess.assign_parameters(value_dict).eval()
print('Hessian computed using the parameter shift method\n', (np.array(hessian_result)))

# Get the operator object representing the Hessian
state_hess = Hessian(hess_method='lin_comb').convert(operator=op, params=params)
# Assign the parameters and evaluate the Hessian
hessian_result = state_hess.assign_parameters(value_dict).eval()
print('Hessian computed using the linear combination of unitaries method\n', (np.array(hessian_result)))

# Get the operator object representing the Hessian using finite difference
state_hess = Hessian(hess_method='fin_diff').convert(operator=op, params=params)
# Assign the parameters and evaluate the Hessian
hessian_result = state_hess.assign_parameters(value_dict).eval()
print('Hessian computed with finite difference\n', (np.array(hessian_result)))

Hessian computed using the parameter shift method
 [[-7.07106781e-01+0.j  0.00000000e+00+0.j]
 [ 0.00000000e+00+0.j -5.55111512e-17+0.j]]
Hessian computed using the linear combination of unitaries method
 [[-7.07106781e-01+0.j  0.00000000e+00+0.j]
 [ 0.00000000e+00+0.j  5.60000000e-17+0.j]]
Hessian computed with finite difference
 [[-7.07122803e-01+0.j  3.05175781e-05+0.j]
 [ 3.05175781e-05+0.j -6.10351562e-05+0.j]]

양자 Fisher 정보 (Quantum Fisher Information, QFI)¶

양자 Fisher 정보는 메트릭 텐서로써 주어진 입력 상태 \(|\psi\rangle\) 와 매개변수화된 가설 가설 \(V\left(\theta\right)\) 의 표현력을 대표한다.

순수 상태에 대한 QFI의 입력값은

\[QFI_{kl} = 4 * \text{Re}\left[\langle\partial_k\psi|\partial_l\psi\rangle-\langle\partial_k\psi|\psi\rangle\langle\psi|\partial_l\psi\rangle \right].\]

회로 QFI¶

매개변수화된 양자 회로로 생성된 양자 상태에 해당하는 QFI의 값을 구하는 것는 다양한 방식으로 수행될 수 있다.

선형 조합 전체 QFI¶

전체 QFI를 계산하려면 제어 게이트에 간섭하는 것 외에도 작업 중인 큐비트를 활용해야 한다. 다음의 예를 참고하라 Variational ansatz-based quantum simulation of imaginary time evolution.

[13]:

# Wrap the quantum circuit into a CircuitStateFn
state = CircuitStateFn(primitive=qc, coeff=1.)

# Convert the state and the parameters into the operator object that represents the QFI
qfi = QFI(qfi_method='lin_comb_full').convert(operator=state, params=params)
# Define the values for which the QFI is to be computed
values_dict = {a: np.pi / 4, b: 0.1}

# Assign the parameters and evaluate the QFI
qfi_result = qfi.assign_parameters(values_dict).eval()
print('full QFI \n', np.real(np.array(qfi_result)))

full QFI
 [[ 1.0000000e+00 -2.0659798e-16]
 [-2.0659798e-16  5.0000000e-01]]

블록-대각과 대각 근사¶

QFI의 블록 대각 행렬 표현의 대각 근사화는 추가 큐비트 없이 계산될 수 있다. 이 구현은 Pauli 회전들과 매개변수화가 안 된 게이트들로 푸는 것을 요구한다.

[14]:

# Convert the state and the parameters into the operator object that represents the QFI
# and set the approximation to 'block_diagonal'
qfi = QFI('overlap_block_diag').convert(operator=state, params=params)

# Assign the parameters and evaluate the QFI
qfi_result = qfi.assign_parameters(values_dict).eval()
print('Block-diagonal QFI \n', np.real(np.array(qfi_result)))

# Convert the state and the parameters into the operator object that represents the QFI
# and set the approximation to 'diagonal'
qfi = QFI('overlap_diag').convert(operator=state, params=params)

# Assign the parameters and evaluate the QFI
qfi_result = qfi.assign_parameters(values_dict).eval()
print('Diagonal QFI \n', np.real(np.array(qfi_result)))

Block-diagonal QFI
 [[1.  0. ]
 [0.  0.5]]
Diagonal QFI
 [[1.  0. ]
 [0.  0.5]]

응용 예: 경사 기반 최적화를 사용한 VQE¶

추가 불러오기¶

[15]:

# Execution Imports
from qiskit import Aer
from qiskit.utils import QuantumInstance

# Algorithm Imports
from qiskit.algorithms import VQE
from qiskit.algorithms.optimizers import CG

경사 프레임워크는 경사 기반의 VQE 에도 사용될 수 있다. 먼저 해밀토니안과 파동함수 가설을 초기화한다.

[16]:

from qiskit.opflow import I, X, Z
from qiskit.circuit import QuantumCircuit, ParameterVector
from scipy.optimize import minimize

# Instantiate the system Hamiltonian
h2_hamiltonian = -1.05 * (I ^ I) + 0.39 * (I ^ Z) - 0.39 * (Z ^ I) - 0.01 * (Z ^ Z) + 0.18 * (X ^ X)

# This is the target energy
h2_energy = -1.85727503

# Define the Ansatz
wavefunction = QuantumCircuit(2)
params = ParameterVector('theta', length=8)
it = iter(params)
wavefunction.ry(next(it), 0)
wavefunction.ry(next(it), 1)
wavefunction.rz(next(it), 0)
wavefunction.rz(next(it), 1)
wavefunction.cx(0, 1)
wavefunction.ry(next(it), 0)
wavefunction.ry(next(it), 1)
wavefunction.rz(next(it), 0)
wavefunction.rz(next(it), 1)

# Define the expectation value corresponding to the energy
op = ~StateFn(h2_hamiltonian) @ StateFn(wavefunction)

이제 VQE 가 Gradient 나 NaturalGradient 를 사용하도록 선택하고, 양자 회로를 실행할 QuantumInstance 를 정의해서 알고리즘을 실행한다.

[17]:

grad = Gradient(grad_method='lin_comb')

qi_sv = QuantumInstance(Aer.get_backend('aer_simulator_statevector'),
                        shots=1,
                        seed_simulator=2,
                        seed_transpiler=2)

#Conjugate Gradient algorithm
optimizer = CG(maxiter=50)

# Gradient callable
vqe = VQE(wavefunction, optimizer=optimizer, gradient=grad, quantum_instance=qi_sv)

result = vqe.compute_minimum_eigenvalue(h2_hamiltonian)
print('Result:', result.optimal_value, 'Reference:', h2_energy)

Result: -0.8800000000000001 Reference: -1.85727503

[18]:

import qiskit.tools.jupyter
%qiskit_version_table
%qiskit_copyright

Version Information

Qiskit Software	Version
Qiskit	None
Terra	0.17.4
Aer	0.8.2
Ignis	None
Aqua	None
IBM Q Provider	None
System information
Python	3.8.8 (default, Apr 13 2021, 12:59:45) [Clang 10.0.0 ]
OS	Darwin
CPUs	2
Memory (Gb)	12.0
Fri May 28 09:42:47 2021 EDT

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